Александр Терентьев родился 19 мая 1999 года в Нарьян-Маре, Ненецкий автономный округ.
Впервые принял участие в соревнованиях, учась в третьем классе, занял третье место. Стал заниматься в группе тренера Андрея Речкова. В декабре 2016 года после Всероссийских соревнований по лыжным гонкам среди юношей и девушек 17-18 лет был приглашён в юниорскую сборную России.
Первым успехом на международных стартах стала бронза в спринте свободным стилем на XIII Европейском юношеском Олимпийском зимнем фестивале в Турции. Спустя месяц выиграл две золотые медали на зимней Спартакиаде учащихся России. Там же выполнил норматив мастера спорта России по лыжным гонкам.
Дебютировал в основной сборной России на этапе Кубка мира в Дрездене. В спринте коньком стал 17-м, а в эстафете вместе с напарником занял 5 место.На Зимней Универсиаде-2019 в городе Красноярск завоевал две золотые медали, победив в индивидуальном спринте и смешанном командном спринте в паре с Христиной Мацокиной.
После триумфа на молодежном чемпионате мира 2021 года Александр дал большое интервью изданию «Спорт-Экспресс», где рассказал о том, что не хочет быть чистым спринтером, в лыжном спорте тяжело всем, а Александр Большунов — настоящий профессионал и пример для подражания
